Prerequisite
系のHamiltonianが
のように既知の項 と微小パラメータ がかかった時間依存する摂動項 でかけるとする.
に関しては定常な固有値と固有ベクトル
がわかっている.
ここで は摂動を受けていない量であることを明示している.
簡単のため縮退はないと仮定しておこう.
初期状態を固有ベクトル としてその任意の時刻における時間発展は相互作用描像で
と書ける.
ただし は相互作用描像における摂動項で
と定義される.
を摂動なしの固有状態で展開して
とするときの係数 は
によって定義される.
言い換えるとこの係数は相互作用描像の時間発展演算子 の行列要素である.
は小さいのでその冪展開の最初の2項を見てみよう.
とおくと正規直交関係から であり,
である.
摂動項をSchrödinger描像に戻せば
となる.
こうして一次近似でのエネルギー固有状態の摂動による時間発展が
と求まった.
第1項と第2項のうち の項は元のエネルギー固有状態である.
第2項のうち の項は初期状態 が別のエネルギー固有状態へ遷移する確率の重みを表しているので は状態 から への遷移振幅 (transition amplitude) と呼ばれる.
つまり と に分けて
と書ける.
摂動が有限時間だけはたらく場合を考える.
このとき初期状態を十分過去 で用意すれば摂動のないときの定常状態 に選べる.
また十分未来 でも摂動の影響がないので一般に定常状態 の重ね合わせの状態にあると仮定できる.
時刻 における任意の状態 においてエネルギー固有値が ( )である確率はBornの確率規則から で計算される. Schrödinger描像から相互作用描像 へ移せばこの確率は
と書き換えられる.
一次までの式を適用して位相因子が落ちることに注意すれば
となるので確率 は状態 から への遷移確率と呼ばれる.
摂動が周期的な場合
を考えよう.
は時間に依存しない演算子であり, は自己共役 である.
の行列要素は
である.
一次の遷移振幅は
ここで表記の簡単のために
とおいた.
時間 の積分は容易に実行できて
摂動計算においては は に比べて小さくなければならない.
したがって摂動論が有効であるためには分母 が に近い値になってはいけない.
すなわち少なくとも任意の に対して
が満たされなければならない.