4.1 Persamaan Shroedinger dalam Koordinat Bola
Perluasan persamaan Shroedinger dalam tiga dimensi dapat kita lakukan secara langsung, di mana persamaan Shroedinger secara umum dapat kita tuliskan:
Operator Hamiltonian[1] H diperoleh dari persamaan energi klasik.
dengan menggunakan rumusan standar P yang diperluas pada kasus tiga dimensi
, ,
atau lebih singkatnya
persamaan Shroedinger menjadi:
di mana
merupakan laplasian pada koordinat kartesian
Energi potensial V dan fungsi gelombang , dalam koordinat bola kini hanya merupakan fungsi dan t. Probabilitas menemukan partikel pada elemen volume adalah , dan normalisasinya adalah:
dengan batas integral pada semua ruang ( hingga ). Jika potensial tidak bergantung waktu, maka solusi persamaan Shroedinger untuk keadaan stasioner dalam tiga dimensi adalah
di mana fungsi gelombang spasial memenuhi persamaan Shroedinger tidak bergantung waktu.
Solusi umum dari persamaan Shroedinger (bergantung waktu) adalah
dengan kostanta yang dihitung dari pemberian fungsi gelombang mula-mula, , dengan cara yang seperti biasa kita lakukan pada BAB 2 PERSAMAAN SHROEDINGER TIDAK BERGANTUNG WAKTU. (Jika potensial V merupakan fungsi keadaan kontinu, maka tanda pada persamaan 4.9 menjadi integral.)
Latihan Soal |
---|
Soal 4.1(a) Kerjakan aturan relasi komutasi untuk semua komponen operator r dan p: dan seterusnya. Jawaban: , . (b) tunjukkan bahwa:
, dan . (Masing-masing tentunya terdiri dari tiga dimensi, satu untuk masing-masing komponen.)Petunjuk: Ingat bahwa persamaan 3.148 adalah valid untuk tiga dimensi.
(c) Formulasikan prinsip ketidakpastian Heisenberg ke dalam tiga dimensi. Jawaban:
, , , tetapi terkecuali pada katakanlah
|
Jika anda berminat untuk menjawab, silahkan anda bisa mengerjakannya dan memberikan hasilnya dengan menuliskannya pada kotak komentar yang pada akhir tulisan ini. Saya harap akan ada interaksi antara saya dengan anda, jawaban anda nantinya akan kita bahas bersama-sama dengan para pembaca lainnya. Jika anda kesulitan untuk menuliskan formula-formula atau persamaan-persamaan, silahkan anda mempelajari bagaimana cara menulis formula tersebut disini
|
4.1.1 Separasi Variabel
Biasanya, Potensial adalah fungsi yang hanya bergantung pada jarak terhadap titik pusat. Pada kasus ini, baiknya kita menggunakan koordinat bola (Lihat gambar 4.1). Pada koordinat bola, bentuk laplasianya adalah[2]:
Pada koordinat bola, persamaan schroedinger tidak bergantung waktu dibaca
Sekarang,coba kita cari solusinya dengan menggunakan separasi variabel
Gambar 4.1: Koordinat Bola (Sferis) dengan jarak r, sudut polar dan sudut azimut .
dengan mengaplikasikan persamaan 4.15 kedalam persamaan 4.14 kita dapatkan
kita bagi dengan YR dan mengalikannya dengan
rumusan pada kurung kurawal yang pertama hanya bergantung pada r, dimana yang lain bergantung pada dan , dan tentunya masing-masing bentuk rumusan harus konstan. Untuk alasan ini, saya akan memberikan konstanta separasi ke dalam bentuk [3]:
dan
Latihan Soal |
---|
Soal 4.2Gunakan separasi variabel dalam koordinat kartesius untuk menyelesaikan dinding kubus tak berhingga (Partikel dalam boks): (a) Carilah fungsi gelombang dan energinya pada keadaan stasioner(b) Sebut saja energinya , dalam peningkatan energinya. Carilah . Hitunglah perubahan dari masing-masing energinya. |
4.1.2 Persamaan Anguler
Persamaan 4.17 menentukan kebergantungan terhadap dan ; dengan mengalikannya dengan , persamaan 4.17 menjadi
kamu mungkin pernah bertemu persamaan ini sebelumnya, yang terdapat pada solusi persamaan Laplace pada elektrodinamika klasik. Seperti biasanya, kita coba dengan separasi variabel
dengan menggunakan ini dan dibagi dengan , kita dapatkan
Bagian yang pertama hanya merupakan fungsi dan bagian yang kedua merupakan fungsi , maka masing-masing bagian haruslah konstan. Kali ini sebut saja konstanta separasinya dengan [4]:
dan fungsi adalah
Persamaan 4.21 adalah persamanaan diferensial orde dua yang sederhana, persamaan ini mudah untuk diselesaikan
[Sebenarnya terdapat dua solusi untuk persamaan 4.21, dan , tapi ini dapat disiasati dengan memasukkan tanda negatif ke dalam kostanta m (ingat m bisa juga bernilai negatif), Selain itu kita bisa memberikan faktor kontanta di depan solusi, tapi ada cara yang lebih baik, yaitu dengan memasukkannya ke dalam fungsi . Kebetulan dalam elektrodinamika kita bisa menuliskan fungsi azimut () ke dalam bentuk sin dan cos, dan tentu saja dalam bentuk eksponensial, karena potensial listrik haruslah bernilai real. Mekanika kuantum adalah cabang ilmu fisika yang fleksibel dan fungsi eksponensial cukup mudah untuk bekerja di dalamnya.] Saat berada di 2, maka akan kembali pada posisi semula (). Untuk lebih jelasnya bisa kita lihat gambar 4.1. Oleh karena itu, bisa kita tuliskan[5]
Dengan kata lain, , atau . Dari pernyataan ini, jelaslah dapat dikatakan bahwa m haruslah bernilai integer
Sedangkakn untuk persamaan ,
yang mungkin kelihatan tidak familiar, persamaan 4.25 adalah persamaan yang sangat sulit untuk diselesaikan, tetapi untuk saat ini cukuplah kita tahu bahwa solusi untuk persamaan tersebut adalah
di mana adalah fungsi Legendre terasosiasi yang didefinisikan oleh[6]
, adalah polinomial Legendre ke-l. Kita telah membahas ini pada BAB sebelumnya (persamaan 3.91) sebagai polinomial ortogonal pada interval (-1, +1), dan polinomial Legendre di definisikan oleh formula Rodrigues:
misalnya,
dan seterusnya. Beberapa Polinomial Legendre untuk nilai l yang pertama ditampilkan dalam tabel 3.1. Seperti nama yang ditulisnya, adalah polinomial (dari sudut l) dalam x, dan apakah genap atau ganjil itu tergantung dari paritas l. Tetapi , secara umum sebenarnya bukanlah merupakan polinomial, jika m ganjil maka akan terdapat faktor :
dan seterusnya. [Dengan kata lain, apa yang kita butuhkan adalah , dan , jadi adalah polinomial yang hanya dalam bentuk , apbila m genap maka digantikan dengan . Beberapa fungsi Legendre terasosiasi pada nilai l yang pertama ditampilkan dalam Tabel 4.1]
Tabel 4.1: Beberapa nilai Fungsi Legendre terasosiasi, .
Ingat bahwa l haruslah integer yang bukan negatif agar sesuai dengan formula Rodrigues, jika , maka persamaan 4.27, . Untuk setiap nilai l yang diberikan, maka terdapat (2l + 1) nilai m yang mungkin.
Tetapi tunggu dulu, persamaan 4.25 adalah persamaan diferensial orde dua, yang seharusnya memiliki solusi independen linier, untuk setiap nilai l dan m genap. Di manakah semua solusi lainnya? Jawab: Mereka ada tentunya, tetapi hanya sebagai solusi matematis dari persamaan tersebut. Secara fisis, solusi ini tidak diterima karena nilainya menjadi sangat besar (mendekati tak hingga) pada dan/atau , dan tidak menghasilkan fungsi gelombang ternormalisasi (Lihat soal 4.4)
Sekarang, coba kita kembali pada koordinat bola, elemen volume pada koordinat bola adalah[7]
maka, kondisi ternormalisasi (persamaan 4.6) menjadi
dan sebaiknya untuk menormalisasikannya ke dalam fungsi R dan Y secara terpisah
dan
Fungsi gelombang anguler ternormalisasi[8] dinamakan dengan Spherical harmonis
Tabel 4.2: Beberapa sferical harmonics yang pertama, .
di mana untuk dan untuk . Persamaan 4.32 juga secara otomatis ortogonal, maka
Pada tabel 4.2 telah diperlihatkan beberapa nilai spherical harmonis yang pertama.
4.1.3 Persamaan Radial
Ingat bahwa bagian anguler dari fungsi gelombang, sama untuk setiap potensial yang simetri secara speris. Bentuk nyata dari potensial, V(r) hanya berpengaruh pada bagain radial dari fungsi gelombang, R(r) yang dijelaskan oleh persamaan 4.16
Persamaan di atas akan kelihatan lebih sederhana jika kita ubah sedikit variabelnya, misalkan saja:
maka dari itu, , , , karena itu:
Persamaan 4.37 dinamakan dengan persamaan radial[9], yang bentuknya indentik dengan persamaan Shroedinger satu dimensi (Persamaan 2.4), kecuali bentuk potensial efektifnya
Veff mengandung sedikit bagian ekstra, yang dinamakan dengan bagian centrifugal, . Bagian centrifugal ini cenderung untuk melempar partikel keluar (dari titik pusat), seperti gaya sentrifugal (semi sentrifugal) dalam mekanika klasik. Sementara itu, kondisi normalisasi (persamaan 4.31) menjadi:
Kita tidak bisa memprosesnya lebih lanjut sebelum diberikan potensial yang spesifik.
ContohBerdasarkan pada dinding potensial tak berhingga.
Di luar dinding potensial fungsi gelombang adalah nol, di dalam dinding potensial persamaan radial diberikan oleh:
di mana
sama seperti biasa yang kita lakukan, permasalahan kita adalah untuk menyelesaikan persamaan 4.41, dengan memasukkan syarat batas u(a) = 0, dan untuk kasus l=0 adalah mudah:
Tetapi kita harus ingat bahwa fungsi radial yang sebenarnya adalah , dan bernilai sangat besar ketika . Maka kita harus memilih B=0[10]. Dari syarat batas tersebut kita dapatkan , maka dari itu, untuk setiap nilai n integer, dengan jelas energi yang diijinkan adalah
, dengan
di mana hasil yang kita peroleh ini sama dengan apa yang ada pada sumur potensial tak berhingga satu dimensi (persamaan 2.23). Dengan menormalisasikan menghasilkan , dengan memasukkan bagian anguler (konstan, selama ) kita setuju bahwa
[Ingat bahwa keadaan stasioner mengandung tiga bilangan kuantum, n, l, dan m: . Energi hanya tergantung pada n dan l: ]
Solusi umum dari persamaan 4.41 (untuk sembarang nilai l integer) kelihatan tidak familiar di mata kita
di mana adalah fungsi Bessel sferis untuk orde l, dan adalah fungsi Neumann sferis untuk orde l. Keduanya didefinisikan seperti di bawah ini
; dan
sebagai contoh
; ;
;
;
dan seterusnya. Fungsi Bessel dan Neumann sferis untuk beberapa nilai l yang pertama dapat dilihat dalam tabel 4.3. Ingat bahwa untuk nilai x yang kecil (di mana dan ),
; ; ; ;
Tabel 4.3: Beberapa nilai Fungsi Bessel dan Neumann yang pertama, dan .
dan lainnya. Intinya adalah bahwa fungsi Bessel nilainya terhingga pada titik pusat sedangkan fungsi Neumann nilainya menjadi tak terhingga pada titik pusat (x =0). Berdasarkan fakta ini, kita harus memutuskan kalau , maka dari itu
Jika kita kembali pada syarat batas, . Dengan jelas bahwa k harus dipilih sesuai dengan
di mana, ka bernilai nol untuk fungsi Bessel sferis orde ke-l. Sekarang fungsi Bessel berosilasi (lihat gambar 4.2), masing-masing memiliki nilai nol yang tak berhingga. Tetapi (untungnya bagi kita) itu tidak terlokalisasi pada poin-poin yang penting (seperti pada n, atau atau yang lainnya), dan ini harus dihitung secara numerik dengan bantuan komputer.[11]Pada setiap nilainya, syarat batas yang harus dipenuhi adalah
,
Gambar 4.2: Grafik beberapa fungsi Bessel sferis.
di mana adalah nol yang ke-n pada fungsi Bessel sferis yang ke-l. Energi yang diijinkan diberikan oleh
,
dan fungsi gelombangnya adalah
[1] Mungkin di sini akan terjadi kebingungan, sebelumnya saya menggunakan tanda “topi” untuk membedakan dengan observabel klasik. Tetapi saya tidak mengira hal itu akan menjadi embigu pada Bab kali ini, dan tanda “topi” tersebut menjadi tidak praktis untuk digunakan, oleh karena itu mulai dari sekarang saya akan menghilangkan tanda “topi” tersebut.
[2]Pada prinsipnya, ini dapat didapatkan dengan mengubah variabel dari ekspresi kartesian (Persamaan 4.5). Bagaimana juga, terdapat cara yang lebih efisien, lihatlah buku M.Boas,Mathematical Methods in the Physicaj Science,2nd ed. (New York:John Wiley and Sons,Inc.,1983) chapter 10 section 9
[3]Catatan:Kali ini tidak sembarangan dengan menuliskan konstanta separasi bisa berupa bilangan kompleks. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa harus berupa integral. Oleh karena itu,untuk mengantisipasi hal ini, saya mengekspresikan konstanta seperti dengan cara yang kelihatan agak aneh
[4]Sekali lagi, tidak ada unsur sembarangan dalam menuliskan konstanta separasi, walaupun harus berupa integral. Hati-hati: sombol sekarang terdapat makna ganda, massa dan sekarang yang dinamakan dengan bilangan kuantum magnetik. tapi saya rasa tidak bijaksana kalau kita mengabaikan hal ini,karena keduanya merupakan simbol yang standar. Beberapa penulis mengganti dengan untuk bilangan kuantum magnetik dan untuk massa.
[5]Ini lebih sulit untuk dipahai dari pada apa yang kita lihat. Setelah semuanya, rapat probabilitas () adalah nilai tunggal yang tergantung pada m. Pada sesi 4.3 akan diberikan kondisi pada m yang benar-benar berbeda dan dengan argumen yang lebih mendalam.
[6]Ingat bahwa karene tanda me selalu berada dalam tanda mutlak.
[7]Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat Boas (catatan kaki 2), BAB 5 Sesi 4.
[8]Faktor normalisasi didapatkan dari soal 4.47. Faktor dipilih untuk konsistensi dengan notasi yang akan kita gunakan dalam teori momentum anguler dan ini merupakan standar yang cukup beralasan, walaupun beberapa buku yang lebih lama menggunkan konvensi yang lama. Ingat bahwa:
[9]Simbol m disini menunjukkan massa, tentunya kita tidak akan menemukan bilangan kuantum m dalam persamaan Radial.
[10]Sebenarnya, semua yang kita butuhkan adalah bahwa fungsi gelombang haruslah ternormalisasi,bukan hanya yang terbatas pada pada titik pusat seharusnya ternormalisasi (karena faktor dalam persamaan 4.31). Untuk bukti yang lebih jelas bahwa B=0, lihat R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (New York: Plenum, 1980), halaman 351.
January 25th, 2010 at 16:12
wah mantap banget ilmu fisika mas
salam kenal mas saya juga penggemar fisika
January 25th, 2010 at 16:49
Salam kenal juga mas hamdani.
Sebenarnya tidak benar-benar mantap ilmu saya mas. ya sedang-sedang saja. Saya cuman belajar fisika trus saya tuliskan apa yang saya pelajari tersebut dalam blog ini mas. Jadi maaf nanti kalau ada kata-kata yang kurang bisa dipahami maknanya, maklmum mengingat ilmu saya yang setengah-setengah. Blog mas juga bagus, inspiratif sekali khususnya bagi para pengajar.
January 25th, 2010 at 16:13
oh ya mau nanya juga mas gmana caranya mempostingkan persamaan (rumus) dalam blog. terimakasih
January 25th, 2010 at 17:11
Untuk menulis persamaan yang rumit-rumit, kita butuh suatu kode mas, namanya lateX, nah kode lateX itu kita masukkan bersama-sama dalam artikel dalam blog yang akan kita buat.
Untuk memulai kode LaTeX langkah pertama yang kita lakukan adalah menuliskan format umum LaTeX seperti yang di bawah ini:
$letakkan-kode-latex-anda-disini$
misalkan jika saya menuliskan kode LaTeX seperti di bawah ini:
$latex i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=H\left|\Psi(t)\right>$
maka akan dihasilkan persamaan sperti tampak di bawah ini:
jika kode yang dituliskan salah maka akan muncul pesan seperti:
nah, bagaimana mas hamdani sudah jelaskah? Silahkan anda mencobanya.
Untuk kode kode lain yang lebih rumit anda bisa melihatnya di website ini : Online lateX equation editor
May 14th, 2010 at 13:19
assalami’alaikum
mass,, qo aq g’ mengerti tttg fiska yaa…
duuhhh g’ mudeng nich aq.. skali” angkat dung tema matematika.. biar aq nyambung key….
June 30th, 2010 at 07:11
salam kenal kak
kak, skrg sy lg buat makalah pers. gelombang hidrogen tp referensinya kurang memadahi. kalo ga keberatan sy minta softcopy buku yang di atas donk ato berupa alamat jg gapapa. thanks ya kak
December 16th, 2011 at 14:10
klik aja ini: https://kurniafisika.wordpress.com/2011/12/16/atom-hidrogen-mekanika-kuantum-dalam-tiga-dimensi-bagian-2/
July 14th, 2010 at 11:43
tolong kirimkan bahan tentang sumur potensial 3 dimensi
January 29th, 2011 at 02:28
[…] 4.1. Persamaan Schroedinger dalam Koordinat Bola […]
February 23rd, 2012 at 22:29
Kak ….
Minta tolong nii
untuk materi koordinat bola dalam fisika, yang bisa dipahami oleh anak SMA
Makasih sebelumnya
March 14th, 2012 at 20:28
thanks this is really usefull 😀
June 18th, 2012 at 21:22
assalamu’alaikum… maaf akhi sekedar usul… sumber tulisannya tolong dituliskan, karena saya tahu kalau ini tejemahan. maaf sebelumnya… hehehehhe….
June 2nd, 2013 at 15:32
assalamualaikum kak
punya contoh soal tentang persamaan schordiinger ga ya?
trimakasih
March 13th, 2016 at 17:25
terima kasih… tugas saya sudah ada jalan keluar…