Teoria grawitacji Einsteina w kwadrans

Ogólna teoria względności ma tę własność, że możemy używać w zasadzie niemal dowolnych czterech współrzędnych dla opisania miejsca i czasu. Same współrzędne nie muszą nic oznaczać z fizycznego punktu widzenia, tę samą sytuację można więc opisywać na różne sposoby. Często nie widać, że owe różne opisy dotyczą w istocie tej samej sytuacji.

Metryka

Czym jest metryka? Jest to przepis, jak z niewielkich różnic współrzędnych zbudować odległość. Np. we współrzędnych kartezjańskich dla dwóch bliskich punktów możemy napisać:

$ds^2=dx^2+dy^2,\mbox{ (*) }$

gdzie $ds, dx, dy$ oznaczają odpowiednio odległość, różnicę współrzędnej $x$ oraz $y$ . Jest to zwykłe twierdzenie Pitagorasa. Można jednak wprowadzić inne współrzędne na płaszczyźnie, np. biegunowe: należy podać odległość punktu od początku układu $r$ oraz kąt wektora wodzącego z ustaloną osią $\varphi$ . Odległość dwóch bliskich punktów na płaszczyźnie wyraża się teraz następująco:

$ds^2=dr^2+r^2 d\varphi^2.$

Geometria się nie zmieniła, inny jest tylko układ współrzędnych. Dla każdej dwuwymiarowej i gładkiej powierzchni można zapisać metrykę lokalnie w postaci (*), ponieważ płaszczyzna styczna do powierzchni jest euklidesowa (a lokalnie możemy powierzchnię wiernie opisać za pomocą płaskiego planu – z tego powodu rysując plan miasta zwykle nie potrzebujemy się martwić, jakiej siatki kartograficznej używamy).

Oba wyrażenia opisują zwykłą geometrię euklidesową, czyli taką, w której suma kątów trójkąta jest zawsze równa $180^{\circ}$ . Odległość $ds$ ma pewien sens fizyczny: jest to odległość, jaką można zmierzyć linijką. Gdy zmienimy układ współrzędnych, przepis na obliczanie odległości, czyli właśnie metryka, może się zmienić, ale sama odległość jest niezmienna.

Przykład metryki na sferze dwuwymiarowej (globus). Współrzędnymi są $\vartheta$ – odpowiednik szerokości geograficznej, ale liczy się przeważnie od bieguna północnego oraz $\varphi$ – odpowiednik długości geograficznej. Jak wynika z obrazka metryka ma postać:

$ds^2=R^2 d\vartheta^2+R\sin^2 \vartheta d\varphi^2.$

Sfera dwuwymiarowa jest powierzchnią zakrzywioną: żaden atlas świata nie jest wierny, gdy trzeba przedstawić np. Afrykę albo Azję.

W szczególnej teorii względności należy uwzględnić jeszcze różnicę czasu między dwoma punktami (zdarzeniami). Znów jednak „odległość” (interwał czasoprzestrzenny) jest niezależna od układu odniesienia. Możemy ją wyrazić dla czasoprzestrzeni 3+1 wymiarowej (trzy wymiary przestrzenne plus czas) jako:

$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.\mbox{ (**) }$

Tym razem $ds^2$ ma być zachowane przy przekształceniach współrzędnych (przyjmujemy tu $c=1$ , czas i przestrzeń w tych samych jednostkach). Przekształcenia, które zachowują tę wielkość, są to transformacje Lorentza (ew. z obrotami). Zauważmy, że nasze $ds^2$ nie musi być dodatnie, może być zerowe albo ujemne: czas i współrzędne przestrzenne wchodzą z innymi znakami – czas nawet w teorii względności nie jest tym samym co przestrzeń. Odległość czasoprzestrzenna zdarzeń OB i OX jest dodatnia, OY zerowa, OA ujemna. Nie jest to więc odległość w takim sensie jak w zwykłej geometrii. Znak odległości (albo położenie względem stożków przeszłości i przyszłości) mają decydujące znaczenie: X albo Y mogą być przyczynowo związane z O, a B może być następstwem O. Zdarzenia O i A nie mogą być związane przyczynowo, bo oddziaływanie musiałoby się rozchodzić szybciej niż $c$ , a w dodatku ich kolejność w czasie zależy od obserwatora.

Ten sam interwał czasoprzestrzenny moglibyśmy wyrazić za pomocą współrzędnych biegunowych, wymiar jest (2+1) dla uproszczenia:

$ds^2=dt^2-dr^2-r^2 d\varphi^2.$

Jest to nadal rzeczywistość szczególnej teorii względności, czyli czasoprzestrzeń Minkowskiego, ale w nieco innych współrzędnych. Taka czasoprzestrzeń nadal jest płaska, sama zmiana współrzędnych niczego tu nie zmienia.

Geodezyjne i krzywizna

Mając metrykę, możemy obliczyć odległość dwóch bliskich punktów, a sumując odległości także i długość łamanej, skąd łatwo przejść do dowolnej krzywej przez całkowanie. Krzywe o długości minimalnej nazywamy geodezyjnymi: w przestrzeni euklidesowej są to odcinki prostej łączącej dwa punkty. Geodezyjne są więc uogólnieniem pojęcia linii prostej. Możemy z nich budować np. trójkąty albo wielokąty. Okazuje się, że suma kątów trójkąta może być zarówno zawsze większa od $180^{\circ}$ , jak i zawsze równa $180^{\circ}$ albo zawsze mniejsza od $180^{\circ}$ . Odpowiednio do tego mamy do czynienia z krzywizną dodatnią (np. powierzchnia kuli), zerową (geometria euklidesowa) albo ujemną (powierzchnie przypominające przełęcz w górach).

Zasada równoważności

Einstein mówił, że to najszczęśliwsza myśl jego życia: „Siedziałem sobie na krześle w Biurze Patentowym w Bernie, kiedy nagle uderzyła mnie myśl: «Jeśli człowiek spada swobodnie, to z pewnością nie odczuwa wtedy własnego ciężaru»”. Delikwent ów znajduje się w stanie nieważkości, który dobrze znamy z filmów przesyłanych ze stacji kosmicznych. Swobodnie spadający układ współrzędnych jest układem inercjalnym – to do niego stosuje się szczególna teoria względności, transformacje Lorentza itd. Inaczej mówiąc, nie możemy odróżnić sił grawitacji od sił bezwładności odczuwanych np. w hamującym albo skręcającym pojeździe. Wynika to z faktu, że siły jednego i drugiego rodzaju są ściśle proporcjonalne do masy.

Mogłyby istnieć dwa pojęcia masy: grawitacyjna – mierzona siłami ciężkości oraz bezwładna – mierzona bezwładnością ciała, masa występująca w drugiej zasadzie dynamiki: $F=ma$ . Jednak w przyrodzie jest tylko jeden rodzaj masy, fakt ten z niejakim zdziwieniem odnotował Isaac Newton, przeprowadzając dla pewności doświadczenia z wahadłami (w ruchu wahadła mamy zarówno masę grawitacyjną, jak i bezwładną, można więc sprawdzić z jaką dokładnością się one pokrywają).

Zasada równoważności mówi, że w małym obszarze czasoprzestrzeni (statek kosmiczny) możemy uniknąć grawitacji, jeśli wybierzemy właściwy układ współrzędnych. Matematycznie rzecz ujmując, w każdym punkcie czasoprzestrzeni przestrzeń styczna jest czasoprzestrzenią Minkowskiego (tzn. można wprowadzić w niej metrykę (**)). Oznacza to np., że możemy wprowadzić trzy współrzędne przestrzenne i jedną czasową, różniącą się znakiem w metryce. W przypadku fizycznej grawitacji możemy metrykę Minkowskiego wprowadzić w pobliżu dowolnego punktu, ale tylko lokalnie, nie dla całej przestrzeni. Winda spadająca na antypodach będzie miała przyspieszenie dokładnie przeciwne do windy spadającej obok nas. Siły grawitacyjne zależą od miejsca i czasu, nie da się ich więc wyłączyć wszędzie za jednym zamachem.

Ruch ciał pod działaniem grawitacji

W ogólnej teorii względności nie ma grawitacji, jest tylko zakrzywiona czasoprzestrzeń (trzeba pamiętać, że zakrzywiona musi być czasoprzestrzeń, niekoniecznie zwykła fizyczna 3-przestrzeń). Krzywizna czasoprzestrzeni powiązana jest z masami/energiami, które się w tej czasoprzestrzeni znajdują. Opisują to równania Einsteina, gdy je rozwiążemy dla danego przypadku, otrzymujemy metrykę danej czasoprzestrzeni. Co wynika z tego, że znamy metrykę? Ano tyle, że możemy ustalić, jak fizyczne odległości i czasy są związane ze współrzędnymi. Możemy też obliczyć, jak powinny się w naszej czasoprzestrzeni poruszać ciała. Zamiast siły grawitacji mamy tu po prostu zasadę najdłuższego czasu własnego: ciała poruszają się po takich krzywych, że $\Delta s$ jest dla nich największe. Zatem ruch pod wpływem grawitacji przedstawiamy jako ruch po krzywych geodezyjnych, a samą grawitację opisujemy za pomocą geometrii: brak grawitacji daje czasoprzestrzeń płaską, w obecności mas czasoprzestrzeń się zakrzywia, co znajduje swe odbicie w metryce. Mówimy tu wyłącznie o ruchu pod działaniem grawitacji, jeśli obecne są jakieś inne siły, to ruch cząstki nie będzie geodezyjny.

Idea zastąpienia grawitacji geometrią możliwa była dlatego, że w polu grawitacyjnym wszystkie masy spadają jednakowo: nie musimy wiedzieć, z czego zrobiony jest sztuczny satelita, ponieważ każdy będzie się poruszał jednakowo. Skoro ten ruch nie zależy od masy poruszającego się ciała ani od żadnych innych jego własności, to możemy powiązać go z samą czasoprzestrzenią i powiedzieć, że czasoprzestrzeń jest tak ukształtowana, iż każde ciało szuka geodezyjnej, i to jest właśnie grawitacja. Można na geodezyjną spojrzeć również jako na krzywą, która po prostu zachowuje kierunek (wtedy nie musimy się zastanawiać, skąd cząstka wie, na której drodze czas własny będzie maksymalny, cząstki zwykle nie są inteligentne).

Przykład: pole grawitacyjne przy powierzchni Ziemi

Jak wygląda metryka czasoprzestrzeni w przypadku słabego pola grawitacyjnego, takiego jak przy powierzchni Ziemi? Możemy ją zapisać jako

$ds^2=c^2\left(1+\dfrac{2gh}{c^2}\right) dt^2-dl^2.$

We wzorze tym $g, h$ oznaczają przyspieszenie ziemskie i wysokość, a $dl$ euklidesową (zwykłą) odległość dwóch punktów. Zapisaliśmy tu jawnie prędkości światła, żeby widać było, które wielkości są małe, gdy pole jest słabe, a prędkości niewielkie (w porównaniu z $c$ ! zawsze trzeba pamiętać w porównaniu z czym coś jest małe). Możemy całe powyższe wyrażenie zapisać jako

$ds=c\sqrt{1+\dfrac{2gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{c^2}}dt.$

Skorzystaliśmy z tego, że droga $dl$ podzielona przez czas $dt$ daje prędkość $v$ . Pod pierwiastkiem mamy niewielkie dodatki do jedynki, można więc użyć przybliżonego wyrażenia dla pierwiastka:

$\sqrt{1+x}\approx 1+\dfrac{x}{2},\mbox{ gdy }|x|\ll 1.$

Otrzymujemy

$ds \approx c\left(1+\dfrac{gh}{c^2}-\dfrac{v^2}{2c^2}\right) dt=c dt-\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.$

Pierwszy składnik po prawej stronie nie zmienia się, gdy rozpatrujemy różne krzywe łączące dwa dane zdarzenia, dając po prostu różnicę czasu. Drugi natomiast dla danej krzywej będzie równy (pomijając znak i $1/c$ sprzed nawiasu)

$\int \left(\dfrac{v^2}{2}-gh\right)dt.$

Łatwo zauważyć, że jeśli pomnożymy to przez masę poruszającego się ciała, dostaniemy klasyczne działanie

$S=\int \left(\dfrac{mv^2}{2}-mgh\right)dt.$

Zatem zasada najdłuższego czasu $ds$ prowadzi do zasady najmniejszego działania w fizyce Newtona. W ten sposób wiemy, że dysponujemy teorią bardziej ogólną zarówno w stosunku do dynamiki Newtona, jak i szczególnej teorii względności. Działanie w teorii względności (jednej i drugiej) można zapisać jako

${\displaystyle S=-mc\int ds}.$

Zamiast $mgh$ możemy wstawić lepsze wyrażenie na energię potencjalną grawitacji.

Nasza metryka nie zmienia nic w części przestrzennej, ale wprowadza dodatkowy czynnik obok czasu. Zbadajmy jego znaczenie. Metryka nie zależy od czasu, więc gdy wyślemy dwa sygnały świetlne w odstępie czasu $\Delta t$ do góry, to przyjdą one w takim samym odstępie czasu – są to po prosu takie same linie świata powtórzone. Dla zegara spoczywającego na poziomie $h=0$ mamy

$\Delta s\equiv c\Delta \tau=c\Delta t,$

dla znajdującego się wyżej:

$\Delta s_1\equiv c\Delta \tau_1\approx c\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta t.$

Dzieląc stronami drugie równanie przez pierwsze, otrzymamy

$\Delta \tau_1=\left( 1+\dfrac{gh}{c^2}\right)\Delta \tau.$

Fizyczny odstęp czasu, czyli czas własny, jest dłuższy na zegarze znajdującym się wyżej w polu grawitacyjnym. Jeśli zegary będą związane z emisją jakiejś linii widmowej, to częstość światła tej linii będzie niższa wg zegara umieszczonego wyżej. Efekt ten jest uwzględniany w działaniu GPS.

Przykład: czarna dziura Schwarzschilda

Równania pola grawitacyjnego, czyli równania określające krzywiznę czasoprzestrzeni, wydawały się trudne do ścisłego rozwiązania. Tak sądził Einstein, gdy w ciągu listopada 1915 roku, w pracach publikowanych na kolejnych cotygodniowych posiedzeniach Pruskiej Akademii Nauk, doszedł do ich ostatecznego sformułowania, a także stwierdził, że wyjaśniają one obrót peryhelium Merkurego, którego astronomowie nie potrafili zrozumieć od ponad pół wieku. Toteż bardzo się zdziwił, kiedy jeszcze tej jesieni otrzymał pracę Karla Schwarzschilda, przebywającego na froncie astronoma z Getyngi, zawierającą pierwsze ścisłe rozwiązanie w teorii względności. Dotyczyło ono sferycznie symetrycznego rozkładu mas, czyli np. pola grawitacyjnego na zewnątrz gwiazdy. Wiadomo, że pole grawitacyjne w takim przypadku jest takie jak masy punktowej umieszczonej w środku gwiazdy. W następnym roku metrykę tę otrzymał niezależnie Johannes Droste, był jednak znacznie mniej znanym uczonym, więc zwykle mówi się (niezbyt sprawiedliwie) o metryce Schwarzschilda. Zapiszemy ją tylko w płaszczyźnie równikowej gwiazdy, żeby mniej pisać – zagadnienie ma symetrię sferyczną, więc płaszczyzna równikowa dobrze reprezentuje wszystkie płaszczyzny przechodzące przez środek gwiazdy.

Metryka ma postać:

$ds^2=\left(1-\dfrac{r_S}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\dfrac{r_S}{r}}-r^2 d\varphi^2.$

Stała $r_S$ to tzw. promień Schwarzschilda, równy

$r_S=\dfrac{2GM}{c^2},$

gdzie $G$ to stała grawitacyjna, a $M$ – masa naszej gwiazdy. Dziś wiemy, że jest to promień horyzontu czarnej dziury, ale do tej wiedzy uczeni doszli już po śmierci Einsteina. Jakie własności ma metryka Schwarzschilda? Czas własny i czas w danym punkcie związane są zależnością:

$d\tau=\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}} dt.$

Można sprawdzić, że jest to ogólniejszy przypadek przesunięcia ku czerwieni, czyli spowolnienia zegarów znajdujących się wyżej w polu grawitacyjnym.

Jeśli weźmiemy dwa punkty czasoprzestrzeni różniące się tylko kątem $\varphi$ , ich odległość dana będzie związkiem

$dl=\sqrt{-ds^2}=r d\varphi.$

Zatem obwód okręgu o promieniu $r$ jest równy $2\pi r$ . Niezbyt to odkrywcze, ale naprawdę informuje nas o tym, jaki jest sens parametru $r$ – jeśli okrąg ma długość $l$ , to definiujemy promień jako $l/2\pi$ . Odległość wzdłuż promienia równa jest

$dl=\dfrac{dr}{\sqrt{1-\dfrac{r_S}{r}}}>dr.$

Zatem geometria przestrzeni nie jest euklidesowa, bo w geometrii euklidesowej powinniśmy otrzymać dokładnie $dr$ (jako różnicę promieni okręgów $r+dr$ oraz $r$ ).

Formalnie biorąc, rozwiązanie Schwarzschilda obowiązuje dla wszystkich promieni $0\le r<\infty$ . Pojawiają się jednak dwa problemy: metryka jest osobliwa, gdy $r=r_S$ oraz $r=0$ . Powiedzmy od razu, że pierwsza osobliwość jest pozorna i dotyczy tylko układu współrzędnych. Druga natomiast jest realna.

Gdy zbliżając się do zera, miniemy punkt $r=r_S$ w naszej metryce znaki części z $dt^2$ i $dr^2$ też się zmienią. Ale znaki te są związane z tym, co jest czasem, a co przestrzenią, czyli wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią $r=r_S$ przestrzeń zamienia się w pewnym sensie na czas. Pokazuje to ładnie obrazek Johna Nortona

źródło: Black Holes

Promień Schwarzschilda jest promieniem horyzontu zdarzeń, wewnątrz niego stożki świetlne przyszłości zwrócone są ku osobliwości w $r=0$ (singularity). Znaczy to, że dla kogoś, kto przekroczył horyzont, osobliwość należy do przyszłości i jest tak samo nieunikniona, jak każda przyszłość. Można obliczyć czas własny, po jakim obserwator przekraczający horyzont dotrze do osobliwości, jest on rzędu $r_S/c$ , co dla wielkich czarnych dziur w centrach galaktyk daje czas rzędu minuty. Im bliżej osobliwości, tym większe siły przypływowe, czyli różnice sił grawitacyjnych działających na różne punkty danego ciała. Prowadzi to do rozerwania wszelkiej materii na coraz drobniejsze fragmenty. Sam horyzont nie jest żadną osobliwością i niezbyt uważny obserwator może go przekroczyć, niczego nie spostrzegając. Nie da się jednak stamtąd wrócić ani nawet wysłać wiadomości, bo wszystkie stożki świetlne zwrócone są ku osobliwości.

Można też tę sytuację przedstawić na diagramie Penrose’a. Linie świata światła biegną na nim stale pod kątem $\pm 45^{\circ}$ , cała czasoprzestrzeń została skompresowana do skończonego obszaru. Ponieważ linie świata cząstek muszą zawsze biec wewnątrz stożków, więc można łatwo zobaczyć, co w tej czasoprzestrzeni jest możliwe, a co nie. Mamy dwa obszary: ponad horyzontem i wewnątrz horyzontu. Zielone kropki są punktami w nieskończoności, ten górny nie należy do osobliwości. Dlatego możliwe są linie świata takie, jak zielona, które omijają horyzont (można np. po prostu krążyć wokół czarnej dziury, jeśli tylko nie znajdujemy się zbyt blisko). Ale możliwe są i takie linie świata, które go przekraczają i wtedy już nie ma powrotu (linia czerwona). Żółte linie świata oznaczają linie zerowe, czyli możliwe linie fotonów. Spod horyzontu nawet światło nie może uciec.

Nasz diagram nie stanowi całości rozwiązania Schwarzschilda. Pole grawitacyjne dopuszcza także istnienie symetrycznych białych dziur i dopiero całość stanowi matematyczne rozwiązanie problemu. Nie narysowaliśmy tej części, ponieważ nie odpowiada ona fizycznej rzeczywistości, w istocie lewa krawędź naszego obrazka też jest niefizyczna. Czarne dziury tworzą się przez kolaps (zapadanie) grawitacyjne i ta część rozwiązania powinna zostać zastąpiona opisem sytuacji wewnątrz zapadającej się gwiazdy. Realne jest natomiast utworzenie się horyzontu oraz osobliwości (cokolwiek może ona oznaczać). Istnienie osobliwości przy pewnych ogólnych założeniach wynika z szeregu twierdzeń udowodnionych przez Rogera Penrose’a, Stephena Hawkinga i innych. innymi słowy: teoria Einsteina przewiduje swoją własną niekompletność, gdyż osobliwości nie należą do czasoprzestrzeni.

Równania pola

Same równania pola są w teorii Einsteina są skomplikowane, jeśli wyrazić je jako pochodne metryki. Są to wówczas równania cząstkowe drugiego rzędu, jest ich dziesięć. Opisują one tak zwany tensor krzywizny Ricciego. Fizycznie są bezpośrednim i właściwie nieuniknionym uogólnieniem teorii Newtona. Oczywiście, stało się to takie jasne po stu latach, kiedy Einstein pracował nad swoją teorią nawet matematycy, którzy zajmowali się tym rodzajem geometrii, nie byli od niego dużo mądrzejsi. W pustej przestrzeni równania Einsteina stwierdzają po prostu, że tensor Ricciego znika:

$R_{\mu\nu}=0,$

gdzie $\mu,\nu=0,1,2,3.$ Tensor jest symetryczny, ma więc dziesięć składowych. Napisaliśmy te równania tylko dla porządku, żeby można było na nie spojrzeć. W gruncie rzeczy równanie to jest naturalnym uogólnieniem równania Laplace’a dla potencjału grawitacyjnego $V$ w teorii newtonowskiej: